Аналитические методы моделирования (2008, 288с.)

Аналитические методы моделирования. Для пуассоновских систем массового обслуживания разработаны методы, позволяющие достаточно просто аналитически рассчитывать их характеристики.

Системы с отказом в обслуживании являются наиболее простыми. В таких системах каждое поступающее требование либо обслуживается, если обслуживающее устройство свободно, либо теряется. Характерным примером такой системы является традиционная телефонная связь. Если абонент свободен, поступающий звонок соединяется с ним, если занят, звонок приходится повторять.

Коэффициент загрузки системы определяет минимальное число обслуживающих устройств, которое необходимо иметь в системе для предотвращения роста очереди на обслуживание:

….

Вероятность того, что обслуживанием поступающих требований заняты к устройств, равна

….

где …. изменяется от 0 до п — числа обслуживающих устройств. Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны:

….

Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты:

….

Рассмотрим пример.

Диспетчерская принимает заказы по телефону. В самый напряженный период среднее число звонков составляет один в минуту. Средняя длительность разговора — 4 мин. Сколько необходимо иметь телефонных линий, чтобы число отказов не превышало 10 %?

Для этой системы коэффициент загрузки будет равен а = 1 • 4 = 4. Следовательно, диспетчерская должна иметь как минимум четыре телефонные линии. Результаты расчетов (см. табл. 8.19) показывают, что для достижения требуемых условий обслуживания клиентов в диспетчерской должно быть установлено семь телефонных линий.

Таблица 8.19 - Расчет системы с отказами

Системы с неограниченным потоком требований относятся к разомкнутым системам. В таких системах отсутствует связь между обслуженными требованиями и требованиями, поступающими на обслуживание. Другими словами, работа системы никак не влияет на характеристики входящего потока. К таким системам можно отнести работу ПРП, обслуживающих ПС, занятый на междугородных или международных перевозках.

Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны:

Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты: ….

Среднее время ожидания обслуживания

….

Среднее число требований, ожидающих обслуживания:

….

Среднее число простаивающих обслуживающих устройств за единицу времени

Потери от простоя АТС можно определить по формуле Потери от простоя ПРМ

….

где … и …. — удельные потери от простоя АТС и ПРМ соответственно.

Рассмотрим пример.

Необходимо определить оптимальное число постов для погрузки ПС, перевозящего грузы между терминалами, исходя из минимальных потерь от простоя АТС и постов. Среднее время погрузки 1,2 ч. В среднем за час прибывает два АТС. Удельные потери от простоя составят 50 р./ч для АТС и 100 р./ч для поста погрузки.

Коэффициент загрузки системы будет равен а = (1,2-2)/1 = 2,4. Следовательно, ПРП должен иметь как минимум три поста. Результаты расчетов представлены в табл. 8.20.

Таблица 8.20 - Расчет разомкнутой системы

Результаты расчетов показывают, что для достижения требуемых условий обслуживания на ПРП должно быть четыре поста погрузки АТС.

Системы с ограниченным потоком требований относятся к замкнутым системам. В таких системах ярко выражена связь между обслуженными требованиями и требованиями, поступающими на обслуживание, так как после обслуживания эти требования вновь возвращаются на следующее обслуживание. Работа такой системы существенно влияет на характеристики входящего потока. К подобным системам можно отнести работу ПРП, обслуживающих постоянный состав АТС, занятых на коротких городских и строительных перевозках.

Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны:

....

Среднее число требований, ожидающих обслуживания:

….

Среднее число простаивающих обслуживающих устройств за единицу времени

….

Рассмотрим пример.

Необходимо определить оптимальное число АТС, которое может быть обслужено на посту погрузки, исходя из минимальных потерь от простоя АТС и поста. После погрузки ПС доставляет груз потребителям и возвращается для следующей погрузки. Среднее время погрузки 0,2 ч. Среднее расстояние доставки груза 20 км, а среднетехническая скорость 20 км/ч. Удельные потери от простоя, как и в предыдущем примере, составят 50 р./ч для АТС и 100 р./ч для поста погрузки.

Время оборота ПС составит ….= 2-20/20 + 0,2 = 2,2 ч. Коэффициент загрузки системы …. = (1/2,2)/(1/0,2) = 0,09. Результаты расчетов представлены в табл. 8.21. Они показывают, что для достижения требуемых условий обслуживания на данном ПРП должно работать семь автомобилей.

Таблица 8.21 - Расчет замкнутой системы

Источник: Грузовые автомобильные перевозки: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / А. Э. Горев. — 5-е изд., испр. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — С. 224-227 (288 с.)